Chi è Gauss? quali sono le sue teorie? …

Published December 20, 2011 by giadaranzoni91

Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855) è stato un matematico, astronomo e fisico tedesco, che ha dato contributi determinanti in vari campi, inclusi analisi matematica, teoria dei numeri, statistica, calcolo numerico, geometria differenziale, geodesia, geofisica, magnetismo, elettrostatica, astronomia e ottica.

Talvolta definito “il principe dei matematici”  come Eulero o “il più grande matematico della modernità” (in opposizione ad Archimede, considerato dallo stesso Gauss come il maggiore fra i matematici dell'”antichità”), è annoverato fra i più importanti matematici della storia avendo contribuito in modo decisivo all’evoluzione delle scienze matematiche, fisiche e naturali.Definì la matematica come “la regina delle scienze”.

Scoperte scientifiche

Algebra

Gauss fu il primo a dimostrare, nel 1799, il Teorema fondamentale dell’algebra, il quale afferma che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso, ossia che ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice in C. Dal teorema segue che un polinomio di grado n ha esattamente n radici in campo complesso, se contate con le rispettive molteplicità.

La dimostrazione originale di Gauss è importante in quanto contiene il concetto di piano complesso (o appunto piano di Gauss), un piano cartesiano in cui l’ascissa indica la parte reale e l’ordinata indica la parte immaginaria. Il piano complesso è stato utilizzato poi da moltissimi altri matematici che lo hanno valorizzato appieno.

Geometria

L’eptadecagono.

Gauss risolse appena diciannovenne un problema aperto da millenni, ossia determinare quali poligoni regolari possono essere costruiti usando solo riga e compasso. La sorprendente risposta fu che si possono costruire con riga e compasso tutti i poligoni regolari tali che il numero n dei lati possa essere scritto nella forma:

n=2^{k}F_{i_1}F_{i_2}\cdots F_{i_m}

dove gli  F_{i_j} sono numeri primi di Fermat. Gauss provò così che il poligono regolare a 17 lati (o eptadecagono) poteva essere costruito con riga e compasso. Tale costruibilità implica che le funzioni trigonometriche di {2\pi\over17} possono essere espresse grazie all’aritmetica basilare e a radici quadrate. All’interno delle Disquisitiones Arithmeticae è contenuta la seguente equazione, qui trascritta in notazione moderna:


 \begin{align} 16\,\operatorname{cos}{2\pi\over17} = -1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ 2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}.
 \end{align}

La costruzione effettiva dell’eptadecagono fu trovata da Johannes Erchinger pochi anni dopo. Gauss si interessò anche di impacchettamenti di sfere, dimostrando un caso speciale della congettura di Keplero.

Successivamente i suoi studi lo portarono a concepire un tipo di geometria completamente nuovo: la geometria differenziale. In questo tipo di geometria l’utilizzo di tecniche di calcolo infinitesimale permette di introdurre concetti chiave come curvatura, geodetica, campo vettoriale e forma differenziale. Alcuni dei risultati ottenuti da Gauss furono pubblicati nel Disquisitiones generales circa superficies curvas.

Come già accennato Gauss fu poi un pioniere nello sviluppo delle geometrie non euclidee. Gauss fu forse il primo a comprendere che il V postulato di Euclide non era indispensabile per costruire una geometria coerente. Gauss iniziò così a sviluppare la geometria iperbolica. In questa geometria per un punto passano più di una parallela a una retta data. Inoltre in ogni triangolo la somma degli angoli interni è sempre inferiore a 180° gradi. Questo modello geometrico fu sviluppato indipendentemente da almeno altre due persone, János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky.

Teoria dei numeri

La copertina delle Disquisitiones Arithmeticae

Gauss si occupò di teoria dei numeri ottenendo interessanti risultati. Terminò le Disquisitiones Arithmeticae, il suo magnum opus, nel 1798, all’età di ventun’anni, sebbene esse non vennero pubblicate prima del 1801. In questo libro, scritto in Latino[16], Gauss raccoglie risultati della teoria dei numeri ottenuti da matematici come Fermat, Euler, Lagrange e Legendre, aggiungendovi importanti nuovi contributi originali.

Le Disquisitiones coprono argomenti che vanno dalla teoria elementare dei numeri a quel ramo della matematica che oggi è chiamato teoria dei numeri algebrica. Tuttavia è bene precisare che Gauss in quest’opera non riconosce esplicitamente il concetto di gruppo. Introduce invece, l’aritmetica modulare, divenuta poi fondamentale per lo sviluppo della teoria dei numeri. L’aritmetica si fonda sull’importante concetto di congruenza:

 a \equiv b \pmod{n}

quando la differenza tra a e b è un multiplo di n. Gauss studiò anche le equazioni diofantee, dimostrando l’importantissimo teorema di reciprocità quadratica. Espresse per primo questo teorema nel linguaggio dell’aritmetica modulare.

Scoprì poi che ogni numero intero può essere espresso come somma di (al massimo) tre numeri triangolari. Gauss è poi noto per aver congetturato il Teorema dei numeri primi, che stabilisce un collegamento tra l’andamento dei numeri primi e il logaritmo integrale. Questa scoperta era una delle più importanti sull’argomento dal tempo degli antichi greci. Il teorema sarà dimostrato nel 1896 da Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin.

Statistica

Distribuzione gaussiana degli errori

Gauss studiò poi il comportamento degli errori. Inventò il metodo dei minimi quadrati, che tende a ridurre al minimo gli errori di misurazione. Grazie a questo metodo Gauss riuscì a calcolare l’orbita del pianetino Cerere, dopo che erano state compiute solo poche osservazioni empiriche sul suo moto.

Tuttavia il lavoro più importante in questo senso fu la scoperta della variabile casuale normale, detta anche gaussiana. La curva è generata dalla funzione:

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \; e^ {- \frac{\left( x - \mu \right)^2}{2 \sigma ^2}}

e descrive il comportamento e l’entità degli errori di misurazione. La variabile normale è sicuramente una delle più importanti variabili casuali, ed è estremamente diffusa in statistica.

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